Как сделать собственный дизайн
виджета на сайте?

Если вы хотите реализовать уникальный дизайн кнопки видеочата, то нужно сделать следующее:

1) Создать свою кнопку и разместить её в нужном месте

2) Установить скрипт видеочата в </head> сайта

3) Через стили (CSS) спрятать нашу кнопку

4) С помощью API настроить так, чтобы при нажатии на вашу кнопку, действие переходило к кнопке видеочата